Bài báo của Bernhard Riemann Về số lượng các số nguyên tố dưới một độ lớn nhất định.

Hàm zeta Riemann ζ(s) là một hàm số một biến phức s = σ + i t.

Đối với trường hợp đặc biệt R e ( s ) ≡ σ > 1 {\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}(s)\equiv \sigma >1\,} , hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x  với  R e ( s ) ≡ σ > 1 {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} \,x\quad {\text{ với }}\quad {\mathfrak {Re}}(s)\equiv \sigma >1}

trong đó

Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} \,x}

là hàm gamma.

Trong trường hợp σ > 1, tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng chuỗi vô hạn:

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯  với  σ ≡ R e ( s ) > 1 . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \quad {\text{ với }}\quad \sigma \equiv {\mathfrak {Re}}(s)>1\,.}

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là thác triển giải tích của hàm trên.

Với s = 1, chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

lim s → 1   ( s − 1 ) ζ ( s ) = 1 . {\displaystyle \lim _{s\to 1}~(s-1)\,\zeta (s)=1\,.}

Như vậy hàm zeta Riemann là một hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại s = 1 có thặng dư bằng 1.